หมายเหตุ: เป็นความจริงที่ ทุกลำดับที่มีขอบเขตมีลำดับย่อยที่มาบรรจบกัน และยิ่งกว่านั้น ทุกลำดับแบบโมโนโทนิกจะบรรจบกันหากมีขอบเขตเท่านั้น เพิ่ม ดูรายการใน Monotone Convergence Theorem สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบรรจบกันที่รับประกันของลำดับโมโนโทนที่มีขอบเขต
ทุกลำดับที่มีขอบเขตมาบรรจบกันใน R หรือไม่
ทฤษฎีบทระบุว่าแต่ละลำดับขอบเขตใน R มีการบรรจบกัน สูตรที่เทียบเท่ากันคือเซตย่อยของ R จะกระชับตามลำดับก็ต่อเมื่อปิดและมีขอบเขตเท่านั้น ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทความกระชับตามลำดับ
ทุกลำดับขอบเขตของจำนวนจริงมาบรรจบกันหรือไม่
คำตอบและคำอธิบาย: (ก) ทุกลำดับที่มีขอบเขตมาบรรจบกันหรือไม่? ไม่.
ลำดับโมโนโทนิกที่มีขอบเขตมาบรรจบกันหรือไม่
ไม่ใช่ลำดับที่มีขอบเขตทั้งหมด เช่น (-1)n, converge แต่ถ้าเรารู้ว่าลำดับที่มีขอบเขตเป็นแบบเสียงเดียว สิ่งนี้จะเปลี่ยนไป ถ้า ≥ an+1 สำหรับ n ∈ N ทั้งหมด ลำดับจะเป็นเสียงเดียวหากมีการเพิ่มขึ้นหรือลดลง และล้อมรอบแล้วก็มาบรรจบกัน
ลำดับที่มีขอบเขตทั้งหมดมีการบรรจบกันหรือไม่
ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส: ลำดับที่มีขอบเขตทุกลำดับใน Rn มีลำดับการบรรจบกัน ของ {xmk } เป็นลำดับที่มีขอบเขตของจำนวนจริง ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยที่บรรจบกันเช่นกัน … ในทางกลับกัน ลำดับที่มีขอบเขตทุกลำดับอยู่ใน aเซตแบบปิดและแบบมีขอบเขต ดังนั้นจึงมีคอนเวอร์เจนซ์รองลงมา