จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าปริภูมิเวกเตอร์มีมิติจำกัด?

2024 ผู้เขียน: Elizabeth Oswald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-13 00:13

ความยาวของรายการที่ขยาย ในพื้นที่เวกเตอร์แบบจำกัดมิติ ความยาวของรายการเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นทุกรายการจะน้อยกว่าหรือเท่ากับความยาวของรายการเวกเตอร์ที่ขยายทุกรายการ เวคเตอร์สเปซเรียกว่าไฟไนต์มิติ ถ้า รายการเวกเตอร์บางรายการในนั้นครอบคลุมช่องว่าง.

คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าปริภูมิเวกเตอร์นั้นมีมิติจำกัดถ้ามี

สำหรับสเปซเวกเตอร์ทุกอันจะมีฐาน และฐานทั้งหมดของเวคเตอร์สเปซมีคาร์ดินาลลิตี้เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ มิติของสเปซเวกเตอร์จึงถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง เราบอกว่า V เป็นมิติจำกัด ถ้ามิติของวีมีจำกัด และมิติอนันต์ถ้าไม่มีมิติ

เป็นพื้นที่เวกเตอร์มิติจำกัดหรือไม่

ทุกพื้นฐานสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด มีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน ตัวเลขนี้เรียกว่ามิติของพื้นที่ สำหรับพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายในของมิติ n จะกำหนดได้ง่ายว่าเวกเตอร์มุมฉาก n ชุดใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นพื้นฐาน

ช่องว่างเวกเตอร์มิติจำกัดทั้งหมดมีพื้นฐานหรือไม่

สรุป: ทุกช่องว่างเวกเตอร์มี basis นั่นคือ ชุดย่อยย่อยที่ไม่เอนเอียงเชิงเส้นสูงสุด เวกเตอร์ทุกตัวในปริภูมิเวกเตอร์สามารถเขียนในลักษณะเฉพาะเป็นการรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบในพื้นฐานนี้

เวกเตอร์สเปซที่มีมิติจำกัดสามารถมีซับสเปซแบบอนันต์ได้หรือไม่

INF0: ทุกเวคเตอร์มิติอนันต์จะมีอนันต์พื้นที่ย่อยที่เหมาะสมของมิติ สเปซย่อย