ให้ P เป็น Sylow p-subgroup ของ G. … ถ้า G ธรรมดา มันก็มี 10 กลุ่มย่อยของคำสั่ง 3 และ 6 กลุ่มย่อยของคำสั่ง 5 อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกลุ่มเหล่านี้เป็น all cyclic ของลำดับสูงสุด องค์ประกอบที่ไม่สำคัญใดๆ ของ G มีอยู่ในกลุ่มเหล่านี้มากที่สุด
กลุ่ม P เป็นวงเวียนหรือไม่
กลุ่มย่อยคือกลุ่มเดียวของคำสั่ง และกลุ่มวงจร C p เป็นกลุ่มเดียวของคำสั่ง p.
กลุ่มย่อยเป็นวงกลมหรือไม่
ทฤษฎีบท: กลุ่มย่อยทั้งหมดของ กลุ่มวนเป็นวงจร ถ้า G=⟨a⟩ เป็นวงจร ดังนั้นสำหรับทุกตัวหาร d ของ |G| มีกลุ่มย่อยของคำสั่ง d เพียงกลุ่มเดียว ซึ่งอาจสร้างโดย a|G|/d a | จี | / ง. พิสูจน์: ให้ |G|=dn | จี |=d n.
กลุ่มย่อย P Sylow ปกติหรือไม่
หาก G มีกลุ่มย่อย Sylow p-subgroup อย่างแม่นยำ ต้องเป็นเรื่องปกติจากกลุ่มย่อยที่ไม่ซ้ำของคำสั่งที่ให้มาเป็นปกติ สมมติว่า Sylow p-subgroup P เป็นเรื่องปกติ จากนั้นมันก็เท่ากับคอนจูเกตของมัน ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่สาม Sylow จะมีกลุ่มย่อย Sylow p-subgroup ได้เพียงกลุ่มเดียว
เป็น sylow P-subgroups Abelian หรือไม่
เราพิสูจน์ว่ากลุ่มย่อย Sylow p ของกลุ่มจำกัด G คือ abelian หากขนาดคลาสขององค์ประกอบ p ของ G ทั้งหมดเป็น coprime ถึง p และ, ถ้า p ∈ { 3, 5 }, ดีกรีของทุกอักขระที่ลดทอนไม่ได้ในหลัก p-block ของ G คือ coprime ถึง p.