การพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำประกอบด้วย สองกรณี อย่างแรก กรณีฐาน (หรือพื้นฐาน) พิสูจน์คำสั่งสำหรับ n=0 โดยไม่ต้องสันนิษฐานว่ามีความรู้ในกรณีอื่น กรณีที่สอง ขั้นตอนการปฐมนิเทศ พิสูจน์ว่าหากคำสั่งถือสำหรับกรณีใดก็ตาม n=k ก็จะต้องถือสำหรับกรณีถัดไป n=k + 1.
การอุปนัยและการพิสูจน์โดยความขัดแย้งคืออะไร
ในการพิสูจน์ คุณสามารถสมมติ X แล้วแสดงว่า Y เป็นจริง โดยใช้ X • กรณีพิเศษ: หากไม่มี X คุณ แค่ต้องพิสูจน์ Y หรือจริง ⇒ Y อีกทางหนึ่ง คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยความขัดแย้ง: สมมติว่า Y เป็นเท็จ และแสดงว่า X เป็นเท็จ • จำนวนนี้เป็นการพิสูจน์
พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำถูกต้องหรือไม่
เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด k. แม้ว่านี่คือแนวคิด แต่ข้อพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่าการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์คือ เทคนิคการพิสูจน์ที่ถูกต้อง มักจะอาศัยหลักการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนธรรมชาติ; กล่าวคือ ชุดจำนวนเต็มบวกที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดมีองค์ประกอบที่น้อยที่สุด ดูตัวอย่าง ที่นี่
เหตุใดการเหนี่ยวนำจึงเป็นข้อพิสูจน์ที่ถูกต้อง
การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่ถูกต้อง เพราะเราใช้ตัวเลขธรรมชาติและทำมานานแล้ว การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการให้เหตุผลและการพิสูจน์คุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ
เหตุใดการเหนี่ยวนำจึงเป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่ถูกต้อง
การเหนี่ยวนำบอกว่า P(n) จะต้องเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเพราะเราสามารถพิสูจน์ได้เหมือนอย่างข้างบนนี้ สำหรับทุกธรรมชาติ หากปราศจากการเหนี่ยวนำ เราสามารถสร้างการพิสูจน์สำหรับ P(n) สำหรับ n ตามธรรมชาติ - การเหนี่ยวนำเพียงแค่ทำให้เป็นทางการและบอกว่าเราได้รับอนุญาตให้กระโดดจากที่นั่นไปยัง ∀n[P(n)].