ไม่มีที่ไหนหนาแน่นหมายถึงอะไร?

2024 ผู้เขียน: Elizabeth Oswald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-13 00:13

ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตย่อยของพื้นที่ทอพอโลยีจะเรียกว่าไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นหรือหายาก หากส่วนที่ปิดมีช่องว่างภายในว่างเปล่า ในแง่ที่หลวมมาก มันคือชุดที่มีองค์ประกอบไม่กระจุกตัวแน่นในทุกที่ ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มไม่มีจำนวนจริงหนาแน่นในขณะที่ลูกบอลเปิดไม่อยู่

1 N ไม่มีที่ไหนหนาแน่น?

ตัวอย่างชุดที่ยังไม่ปิดแต่ยังไม่หนาแน่นคือ {1n|

∈N}. มีจุดจำกัดหนึ่งจุดซึ่งไม่ได้อยู่ในชุด (คือ 0) แต่การปิดก็ยังไม่มีจุดที่หนาแน่นเพราะไม่มีช่วงเปิดพอดีภายใน {1n|n∈N}∪{0}.

คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าชุดไม่หนาแน่น

A เซตย่อย A ⊆ X ถูกเรียกว่า nowhere หนาแน่นใน X หากด้านในของฝาปิด A ว่างเปล่า เช่น (A)◦=∅ มิฉะนั้น A จะไม่หนาแน่นนัก ถ้าหากมันถูกบรรจุอยู่ในชุดปิดที่มีภายในว่างเปล่า ผ่านไปยังการเติมเต็ม เราสามารถพูดได้อย่างเท่าเทียมกันว่า A ไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นถ้าส่วนประกอบที่มีชุดเปิดที่หนาแน่น (ทำไม?)

ความหนาแน่นทุกที่หมายความว่าอย่างไร

เซตย่อย A ของพื้นที่ทอพอโลยี X มีความหนาแน่นซึ่ง การปิดคือช่องว่างทั้งหมด X (ผู้เขียนบางคนใช้คำศัพท์ทุกที่ที่มีความหนาแน่นสูง) คำจำกัดความทางเลือกทั่วไปคือ: ชุด A ซึ่งตัดทุกชุดย่อยที่เปิดไม่ว่างของ X.

เปิดทุกชุดแน่นไหม

พื้นที่ทอพอโลยี X ถูกเชื่อมโยงหลายมิติก็ต่อเมื่อทุก ๆ nonempty open มีความหนาแน่นใน X พื้นที่ทอพอโลยีจะต่ำกว่าขีดสูงสุดก็ต่อเมื่อทุกเซ็ตย่อยที่หนาแน่นเปิดอยู่